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14.设三角形ABC的面积为2,若A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2+2b2+3c2的最小值...

∵-1≤sin(C+π 6 )≤1,∴a2+b2=abcosC+ 3 absinC=2ab(1 2 cosC+ 3 2 sinC)=2absin(C+π 6 )≤2ab,当且仅当C+π 6 =π 2 ,即C=π 3 时取等号,又a2+b2≥2ab,且当且仅当a=b时取等号,则a=b且C=π 3 ,即△ABC为等边三角形.故选D

1)由余弦定理得3^2=2^2+c^2-2*2c*1/33c^2-4c-15=0c=3,c= -5/3(舍去),b=c=3,所以三角形ABC是等腰三角形,且角B=角C,又因cosc=1/3,所以角C是锐角sinC=√(1-cosc^2)=√=√(1-1/3^2)=2√2/3三角形abc面积=1/2sinC*ac=1/2*2√2/3*2*3=2√22)由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(3^2+3^2-2^2)/2*3*3=7/9sinA=√(1-cosA^2)=√(1-7/9^2)=4√2/9sin(c-a)=sinCcosA-coscsinA=2√2/3*7/9-1/3*4√2/9=10√2/27

-2*2*3*1/3 =39-1/c=1-cosc=1-(1/3*4√2/3(△abc中; c=b=3 ∴a/3*7/9 =14√2/27-4√2/sina=c/sinc sina=a*sinc/c=(2*2√2ǘ、sin,负值舍去) ∴s△abc=1/=8/9 ∴sinc=2√2/3)2ab*sinc=1/2*2*3*2√2/3=2√2 2、c=a+b-2ab*cosc =2+33)/3=4√2/9 cosa=(b+c-a)/2bc=(3+3-2)/2*3*3=7/9 ∴sin(c-a) =sinccosa-coscsina =2√2/27 =10√2/

由正弦定理得:sinb:sina=b:a=√3b=2asinb:sina=sin2a :sina=2sinacosa:sina=2cosb=√3cosa=√3/2a=30°,b=60°,c=180°-b-a=90° ,故三角形abc 为直角三角形c=2a=2

由余弦定理,2abcosC=a^2+b^2-c^2,又2abcosC-bc=a^2+c^2,∴b^2-bc-2c^2=0,(b+c)(b-2c)=0,b,c>0,∴b=2c.又b-c/2=acosC,①∴3c/2=(a^2+b^2-c^2)/(2b),∴6c^2=a^2+3c^2,a^2=3c^2,a=c√3,都代入①,cosC=√3/2,sinC=1/2,∴S△ABC=(1/2)absinC=(√3/2)c^2=2√3,∴c^2=4,c=2,∴a=2√3.

(a+b-c)(a+b+c)=ab[(a+b)^2]-c^2=ab a^2+b^2+ab=c^2 a^2+b^2-c^2=-ab cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab =(-ab)/2ab =-1/2 角C是三角形的内角 所以, 角C=120度.

∵A=π 3 ,a= 3 ,由余弦定理可得3=b2+c2-2bc?cosπ 3 ,∴3=b2+c2-bc,∵b2+c2≥2bc,∴bc≤b2+c2 2 ∴3=b2+c2-bc≥b2+c2-b2+c2 2 ,解得b2+c2≤6,当且仅当b=c时取等号,又由3=b2+c2-bc可得b2+c2=3+bc>3故b2+c2的取值范围为:(3,6]故选:D.

∵C=2(A+B)∴C=2(180-C)∴C=120,A+B=60根据余弦定理:c=a+b-2abcos120 =a+b+2ab∵a+b≥2ab∴a+b+2ab≥3ab即c≥3ab选D

作∠BAC的平分线AD,由A=2C,∴CD/BD=AC/AB=1/3,设CD=X,则BD=3X,易得:ΔBAD∽ΔBCA,BA^2=BD*BC,9=3X*4X,X=√3/2,(取正),∴AB=4X=2√3,cosA=(1+9-12)/6=-1/2,∠A=120°,∴SΔABC=1/2bcsinA=3√3/4.

将a,b,c用sinA,sinB,sinC替换即√3*sinB*cosA-sinC*cosA=sinA*cosC移项:√3*sinB*cosA=sinC*cosA+sinA*cosC将右边合并:√3*sinA*cosA=sin(A+C)∵A+B+C=180°所以sin(A+C)=sinB所以:√3*sinB*cosA=sinB所以:√3*cosA=1所以cosA=(√3)/3,则有sinA=根号(2/3)=(根号6)/3又S=1/2BA*AC*sinA=根号2故有:BA*AC=2根号2/[(根号6)/3]=2根号3.那么向量BA*AC=BA*AC*cos(180-A)=-2根号3*根号3/3=-2

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